---

Úloha má jedinú správnu odpoveď. Uvedieme (jeden možný) postup, ako ju nájsť.

Označme si odpovede, ktoré hľadáme, písmenami A, B, C, D, E, F, G, H, I, J.

Prvá otázka má odpoveď (súčet všetkých číselných odpovedí), a zároveň má odpoveď A. Preto platí A = A + B + D + F + H (a ešte možno + J). Každopádne môžeme od oboch strán rovnosti odčítať A. Dostávame, že súčet ostatných odpovedí je 0.

Piata otázka sa pýta, či sú všetky číselné odpovede kladné. To je už zjavne nemožné, preto E = nie.

Otázka 8 nám hovorí, že A=H² a navyše H (a teda ani A) nemôže byť nula, lebo ním delíme. (Pozor. Obľúbená chyba je tu prehlásiť, že H je odmocnina z A. To ale nemusí byť pravda. Uvedomte si, že H môže byť záporné.) A je teda štvorec.

Keďže súčet všetkých číselných odpovedí je A, a teda kladný, je kladný aj ich priemer F. Tiež si uvedomte, že zo zadania vieme, že F je celé číslo. Nech teda P je počet číselných odpovedí (5 alebo 6), potom F = A/P, a teda P musí deliť A.

My už ale vieme, že A je štvorec. Ak by bol deliteľný 5, bol by deliteľný aj 25. Podobne, ak je deliteľný 6, bol by deliteľný aj 36. V oboch prípadoch môžeme teda písať A = K²P² (pre vhodné kladné K).

Teraz dostávame F = K²P. Ďalej, buď H = KP, alebo H = -KP.

Ukážeme teraz, že odpoveď na poslednú otázku musí byť číslo. Nech to tak nie je. Potom má platiť B+D+F+H = 0. To upravíme na B+D+K²P+H = 0. Zjavne B je aspoň 0, D je aspoň 1 a F je kladné, preto H musí byť záporné. Teda H = -KP. Dosadením dostávame B+D+K²P-KP = 0. Pre kladné K a P rovné 5 však platí K²P ≥ KP, a teda B+D+K²P-KP > 0. Táto možnosť teda k riešeniu nevedie.

Dostávame teda, že J je číslo, P = 6, A = 36.K², F = 6.K², |H| = 6.K. Navyše sme videli, že aby súčet B+D+F+H+J bol nula, záporné H nestačí. Preto J musí byť záporné. (Uvedomte si, že teraz ešte nevieme, či bude H záporné.)

A má hodnotu aspoň 36. Žiadna iná číselná odpoveď sa k A nemá šancu ani len priblížiť. Preto skutočne A je najväčšie, a teda C = ano.

B už môže byť len 1, 2, alebo 3. Ďalej, D nie je záporné, preto D nie je rovné J, a teda D je najviac 5. Hodnoty A a F sú však určite väčšie ako 5, a H je buď väčšie ako 5, alebo záporné. Preto D môže byť už len 1 alebo 2.

Rozoberieme dva prípady. Ak D je 1, musí byť rôzne od všetkých ostatných odpovedí. V takomto prípade B je 2 alebo 3. Ak D je 2, musí sa rovnať B, a teda aj B je 2. V žiadnom z prípadov nemôže B byť menej ako D, preto G = nie. Potom nutne B = 2 (prípad B = 1 ani v jednej možnosti nemohol nastať). A keďže máme mať dve pravdivé odpovede, musí byť I = ano.

Teda platí: F = |B-D| - HD. Čísla F, H, a teda aj HD sú násobky 6. Aby rovnosť platila, aj |B-D| musí byť násobok 6. Preto nutne D = 2. Dostávame F = -2H. Keďže F je kladné, nutne H je záporné. Keďže F = 6.K² a H = -6K, nutne K = 2. Potom H = -12 a F = 24.

A už to ide aj samo. A = 36.K², teda A = 144, a keďže súčet čísel okrem A má byť 0, dopočítame J = -16.